Fungsi
Komposisi
Gabungkan dua fungsi menjadi satu. Pahami cara kerjanya secara visual dan interaktif — lengkap dengan grafik, contoh soal, dan kuis.
Konsep Dasar
Apa itu Fungsi Komposisi?
Fungsi komposisi adalah operasi menggabungkan dua fungsi sehingga output satu fungsi menjadi input fungsi lainnya.
Definisi Formal
Diberikan dua fungsi f dan g. Fungsi komposisi f ∘ g didefinisikan sebagai fungsi yang memetakan setiap nilai x ke nilai f(g(x)).
Notasi f komposisi g:
Notasi g komposisi f:
Cara Membaca Notasi
dibaca "f komposisi g" atau "f bundaran g"
Simbol ∘ disebut operator komposisi
Masukkan x ke g dulu, hasilnya masukkan ke f
Urutan sangat penting: umumnya
Mesin Fungsi Interaktif
Masukkan nilai x dan lihat bagaimana komposisi bekerja langkah demi langkah.
Analogi Sehari-hari
Bayangkan dua mesin pabrik yang bekerja secara berurutan:
Mesin g — Penggiling
Mengubah gandum mentah menjadi tepung
Mesin f — Pembuat Roti
Mengubah tepung menjadi roti
Hasil (f∘g) — Gandum ke Roti
Komposisi kedua mesin menghasilkan roti dari gandum
Jika urutannya dibalik (f dulu, baru g), hasilnya berbeda.
Contoh Konkret
Misalkan dan . Hitung :
Hitung g(3) terlebih dahulu
Masukkan hasil ke f
Hasil akhir
Syarat Komposisi Terdefinisi
Agar terdefinisi, dua syarat harus dipenuhi:
Syarat 1
Nilai x harus berada dalam domain g, agar g(x) dapat dihitung.
Syarat 2
Hasil g(x) harus berada dalam domain f, agar f(g(x)) dapat dihitung.
Kesimpulan:
Perbedaan f∘g dan g∘f
Dengan dan :
(f∘g)(x)
g dulu, baru f
(g∘f)(x)
f dulu, baru g
Kesimpulan
— hasilnya berbeda! Urutan komposisi sangat penting.
Domain & Range
Domain Fungsi Komposisi
Domain fungsi komposisi adalah himpunan semua nilai x yang memenuhi syarat agar komposisi terdefinisi.
Alur Komposisi
Nilai x (input)
Harus ada di Domain g
Hasil g(x)
Harus ada di Domain f
Hasil f(g(x))
Output akhir komposisi
Penting
Domain (f∘g) selalu merupakan himpunan bagian dari domain g.
Rumus & Langkah
Rumus Domain (f∘g):
Langkah-langkah:
Tentukan domain g
Tentukan domain f
Cari syarat agar g(x) masuk ke domain f
Ambil irisan dari semua syarat
Contoh Mencari Domain
Domain Berdasarkan Jenis Fungsi
Kenali jenis fungsi untuk menentukan syarat domain dengan cepat:
Fungsi Akar
Nilai di dalam akar harus ≥ 0
Fungsi Pecahan
Penyebut tidak boleh = 0
Fungsi Logaritma
Nilai di dalam log harus > 0
Fungsi Polinomial
Terdefinisi untuk semua bilangan real
Kesalahan Umum yang Harus Dihindari
Salah: Mengabaikan domain g
Benar: Selalu periksa domain g terlebih dahulu, bukan hanya syarat dari f
Salah: Lupa syarat tambahan dari f
Benar: Setelah domain g, cari syarat agar g(x) masuk ke domain f
Salah: Tidak mengambil irisan
Benar: Domain akhir adalah irisan semua syarat, bukan gabungan
Langkah demi Langkah
Cara Menghitung Komposisi
Menghitung fungsi komposisi memerlukan ketelitian dalam urutan pengerjaan. Ikuti langkah-langkah berikut.
Langkah-langkah
1 / 5Identifikasi Fungsi
Tentukan dengan jelas fungsi f dan g. Pastikan kamu tahu mana fungsi luar (f) dan fungsi dalam (g).
Tulis Ekspresi g(x)
Substitusi g(x) ke dalam f
Distribusikan & Sederhanakan
Hasil Akhir
Contoh Soal 1
Diketahui:
Ditanya:
Tips & Trik
Selalu kerjakan fungsi dalam (g) terlebih dahulu
Pada (f∘g), g adalah fungsi dalam yang dikerjakan pertama.
Gunakan tanda kurung saat substitusi
Tulis f((x²−1)) untuk menghindari kesalahan distribusi.
Sederhanakan langkah demi langkah
Jangan langsung melompat ke hasil akhir.
Verifikasi dengan nilai numerik
Cek hasilmu dengan memasukkan nilai x tertentu.
Contoh Tambahan
Contoh 2: Hitung Nilai
Diketahui:
Ditanya:
Penyelesaian:
Hitung g(5)
Masukkan ke f
Hasil
Contoh 3: Tiga Fungsi
Diketahui:
Ditanya:
Penyelesaian:
Hitung h(3)
Hitung g(h(3))
Hitung f(g(h(3)))
Mencari Fungsi Asal dari Komposisi
Kadang soal memberikan hasil komposisi dan salah satu fungsi, lalu meminta fungsi yang lain.
Jika diketahui (f∘g)(x) dan g(x), cari f(x):
Misalkan u = g(x)
Nyatakan x dalam u
Substitusi ke (f∘g)(x)
Ganti u dengan x
Contoh:
Diketahui dan . Cari f(x).
Misalkan u = 2x + 1
Substitusi ke (f∘g)
Ganti u dengan x
Sifat-sifat
Sifat Fungsi Komposisi
Memahami sifat-sifat komposisi fungsi membantu menyelesaikan soal lebih cepat dan menghindari kesalahan umum.
Tidak Komutatif
Urutan sangat berpengaruh
Umumnya, menukar urutan fungsi menghasilkan hasil yang berbeda.
Asosiatif
Pengelompokan bebas
Pengelompokan komposisi tidak mempengaruhi hasil akhir.
Fungsi Identitas
Tidak mengubah fungsi
Komposisi dengan fungsi identitas I(x) = x tidak mengubah fungsi apapun.
Fungsi Invers
Saling meniadakan
Komposisi fungsi dengan inversnya menghasilkan fungsi identitas.
Perbandingan Sifat Operasi
Bandingkan sifat komposisi fungsi dengan operasi aritmatika biasa:
| Sifat | Penjumlahan (+) | Perkalian (×) | Komposisi (∘) |
|---|---|---|---|
| Komutatif | a+b = b+a | a×b = b×a | f∘g ≠ g∘f |
| Asosiatif | (a+b)+c = a+(b+c) | (a×b)×c = a×(b×c) | (f∘g)∘h = f∘(g∘h) |
| Elemen Netral | a+0 = a | a×1 = a | f∘I = f |
| Elemen Invers | a+(-a) = 0 | a×(1/a) = 1 | f∘f⁻¹ = I |
Visualisasi
Grafik Fungsi Komposisi
Visualisasikan fungsi dan komposisinya secara interaktif.
Grafik Komposisi
Diagram Panah
Visualisasi pemetaan nilai dari domain ke range melalui komposisi.
Latihan Soal
Contoh Soal & Pembahasan
Latih pemahaman dengan soal-soal dari berbagai tingkat kesulitan.
Soal:
Soal:
Uji Pemahaman
Kuis Fungsi Komposisi
10 soal pilihan ganda untuk menguji pemahamanmu. Setiap soal diberi waktu 30 detik.
Siap Memulai Kuis?
Ringkasan Materi
Rangkuman Fungsi Komposisi
Semua konsep penting dalam satu halaman. Simpan atau cetak untuk belajar.
Definisi
Output g menjadi input f. Proses dari dalam ke luar.
Urutan Berbeda
Output f menjadi input g. Hasilnya umumnya berbeda.
Domain
x harus di domain g, dan g(x) harus di domain f.
Tidak Komutatif
Urutan komposisi sangat berpengaruh pada hasil.
Asosiatif
Pengelompokan tidak mempengaruhi hasil akhir.
Fungsi Invers
Komposisi dengan invers menghasilkan fungsi identitas.
Tabel Referensi Cepat
| Konsep | Notasi | Keterangan |
|---|---|---|
| f komposisi g | (f ∘ g)(x) | Masukkan x ke g, hasilnya ke f |
| g komposisi f | (g ∘ f)(x) | Masukkan x ke f, hasilnya ke g |
| Domain komposisi | D(f∘g) | Irisan syarat domain g dan f |
| Sifat komutatif | f∘g ≠ g∘f | Umumnya tidak sama |
| Sifat asosiatif | f∘(g∘h) = (f∘g)∘h | Pengelompokan bebas |
| Fungsi identitas | f∘I = I∘f = f | I(x) = x tidak mengubah fungsi |